Comment calculer la distance entre 2 points en 3D ?

La 3D ou trois dimensions est une manière de percevoir les volumes des objets dans l’espace. C’est de cette manière que nous percevons notre environnement dans sa longueur, sa largeur et sa profondeur/hauteur. L’image numérique nous permet de l’apprécier en 3D bien qu’elle soit sur une surface plane. Comment calculer la distance entre 2 points dans cette dimension ?

Qu’est-ce qu’une distance entre deux points en 3D ?

En 3D, la distance se définit comme l’écart observé entre deux points dans un espace cartésien en trois dimensions. Elle est utilisée dans un système de coordonnées tridimensionnel. C’est une notion enseignée en école numérique pour la compréhension spatiale. Elle est utilisée en infographie, en géométrie, en aérospatial, dans le domaine de l’automobile, en mathématiques, mais aussi dans la robotique.

Quelle formule appliquer pour calculer cette distance?

Pour connaître la distance entre deux points en 3D, il faut appliquer la formule : d = √(x2−x1)²+(y2−y1)²+(z2−z1)². Le « d » est mis pour distance. Le calcul se fait en prenant des coordonnées de deux points définis. Cette formule est idéale pour trouver la distance verticale et horizontale sur l’axe des abscisses et des coordonnées. Pour rappel, la valeur obtenue avec cette formule est toujours positive et ne peut en aucun cas être négative. Pour mieux comprendre l’utilisation de cette formule, voici quelques exemples d’application.

Premier exemple de calcul

Il faut trouver la distance entre deux points avec ces données :

• P (5, 3, 2) = (x1, y1, z1)
• Q (6, 9, 3) = (x2, y2, z2)

De ce fait :

PQ = √(6-5)2 + (9-3)2 + (3-2)2

PQ = √(1)2+(6)²+(1)²

PQ= √1+36+1

PQ= √38

Dans ce cas, on peut dire que d= 6.164.

Deuxième exemple de calcul

Prenons les points A et B avec :

• A (2, 6, 9) = (x1, y1, z1)
• B (6, 8, 5) = (y2,y2, z2)

De ce fait :

AB = √(6 – 2)² + (8 – 6)² + (5 – 9)²

AB= √ (4)² + (2)² + (- 4)²

AB= √16+4+16

AB= √34

Dans ce cas, on peut dire que d = 5,830.

Explication de l’obtention de cette formule

Pour mieux comprendre cette formule, remontons à son origine. Tout est parti dans un premier temps du théorème de Pythagore pour calculer la distance entre deux points en 2D (c’est-à-dire en deux dimensions). La formule dans ce cas est d = (x2 – x1)² + (y2 – y1) ². Cependant, il s’agit là d’une géométrie plane qui ne s’applique pas dans l’espace. Elle part du principe du calcul de la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle.

Dans le cas d’un calcul dans un plan 3D, une autre donnée s’ajoute pour représenter la hauteur ou la profondeur de l’objet. Cette donnée sera nommée « coordonnée z ». Pour l’extension en 3 dimensions, cette coordonnée permet d’obtenir une toute nouvelle formule mathématique qui est d = √d²xy + (z2 – z1)². Après simplification, on obtient la formule dont il est question ici et qui permettra de calculer facilement la distance entre deux points dans un plan 3D.

En résumé, connaitre la distance entre deux points en 3D est une étape facile. Il suffit de maitriser la formule issue du théorème de Pythagore et de l’appliquer dans les calculs. Pour une meilleure assimilation de la formule, il est recommandé de faire régulièrement des exercices d’application en ligne ou à l’aide de documents dotés d’un corrigé type. Il est important de bien maitriser le théorème dans un plan 2D au préalable.